Lên mạng ngày 01/9/2010
GÓC VUÔNG BẰNG GÓC TÙ ?
Đây là một bài toán sai nổi tiếng lần đầu tiên GS Toán Lewis Carroll (người Mỹ) đưa lên báo cách đây gần 1 thế kỷ. Người ta dựa vào bài toán này để chứng minh một góc vuông (90 độ - square angle) bằng với một góc tù (góc lớn hơn 90 độ - Obtuse angle). Bài chứng minh này đã được bạn Trần Công Bình đưa lên mạng NLS CT để chúng ta suy nghĩ. Thường thì bức vẽ như sau (hình 1). Và theo hình này thì chúng ta sẽ chứng minh đươc là góc EAC = góc EBD. Vì góc EAC là 1 góc vuông và vì góc EBD là 1 góc tù, như vậy một góc vuông bằng với một góc tù. Trên thực tế, đây là 1 vấn đề không thể xảy ra. Nhưng chứng minh bị sai ở chỗ nào?
Tôi vô tình tìm được lời giải của bài toán này qua internet. Lời giải thật đơn giản là hình vẽ bị sai (hình 1). Đó là một điều không ai ngờ tới. Hình vẽ đúng là hình 2. Trong hình 2, đường GD không cắt ngang cạnh AB như đã thấy trong hình 1. Vì thế chúng ta không thể chứng minh góc vuông EAC bằng với góc tù EBD được.
Hình 1 Hình 2
Bạn TCB cho tôi biết đó là câu trả lời đúng, nhưng cả tôi và TCB lúc đó không hiểu là tại sao đường GD lại không cắt cạnh AB trong hình 2. Để chứng minh điều này, chúng ta phải tìm phương trình của đường thẳng đi qua GD và của đường thẳng đi qua AB, và xem 2 đường này giao điểm ở đâu. Nếu 2 đường này giao điểm ở H, thì ta sẽ tìm toạ độ của điểm H (hình 3). Hai trường hợp có thể xẩy ra:
Nếu xH > xB à đường GD không cắt cạnh AB như trong hình vẽ đúng (hình 2).
Nếu xA < xH < xB à đường GD cắt cạnh AB như trong hình vẽ sai (hình 1).
Bây giờ nếu ta để truc tọa độ (x=0, y=0) vào điểm C với cạnh CA trùng vào trục y, và cạnh AB song song với trục x. Cạnh BD tạọ một góc a với trục y, và cạnh CD tạọ một góc b với trục x.
Nên nhớ rằng AC = BD = R, và H là giao điểm của cạnh GD và đường thẳng đi qua AB.
Hình 3
Toạ độ A (xA , yA ) = (0, R)
B (xB , yB ) = (xB , R)
C (xC , yC ) = (0, 0)
D (xD , yD ) = (xB + Rsina, yB –Rcosa)
E (xE , yE ) = (xB /2 , R)
F (xF , yF ) = ((L/2)cosb, (L/2)sinb) với b= tan-1 (yD /xD )
G (xG , yG ) = (xB /2 , 
) và L= (yD 2 + xD 2) 1/2
H (xH , yH ) = (??? , R)
Phương trình đường thẳng đi qua CD y = x (yD / xD ) (1)
Vì GF thẳng góc với đường CD (1) ở điểm F, phương trình đường thẳng đi qua GF là
y = (xD / yD ) (xF - x) + yF (2)
Vì đường GF gặp đường GE ở G với xG = (xB/2), phương trình (2) cho ta
yG = (xD / yD ) (xF – (xB/2)) + yF (3)
Với tọa độ của G và D, phương trình đường thẳng đi qua GD là
y = yG + (yD - yG )(x-xG ) / (xD - xG ) (4)
Khi y = R, phương trình (4) cho ta tọa độ của H
xH = xG + (R- yG ) (xD - xG ) / (yD - yG ) (5)
Tọa độ xH từ phương trình (5) tùy thuộc về chiều dài cạnh AC, cạnh AB, và góc xoay a. Đến đây tôi phải dùng toán số để giải, vì toán lý thuyết quá rườm rà. Tôi đã viết chương trình để tính xH bằng Fortran G77, và nhìn nhiều trường hợp khác nhau
AC = BD = R = 1,
AB = 0.75, 1.25, 1.5, 2
a = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60 độ
Tất cả là 48 trường hợp, và đây là kết quả của 4 trường hợp tường trình để các bạn xem.
xb, alpha 0.75 5
xd,yd,beta 0.83715575 0.003805279 0.260435343
xf,yf,xg,yg 0.41857788 0.001902639 0.375 9.58897018
xb,xh,xd 0.75 0.789123476 0.83715575
xb, alpha 0.75 30
xd,yd,beta 1.25 0.133974612 6.11758995
xf,yf,xg,yg 0.625 0.066987313 0.375 2.39951873
xb,xh,xd 0.75 0.915523052 1.25
xb, alpha 1.5 15
xd,yd,beta 1.7588191 0.034074187 1.10987139
xf,yf,xg,yg 0.8794095 0.017037095 0.75 6.69681454
xb,xh,xd 1.5 1.6125663 1.7588191
xb, alpha 1.5 60
xd,yd,beta 2.366025 0.5 11.9324627
xf,yf,xg,yg 1.183012 0.25 0.75 2.29903817
xb,xh,xd 1.5 1.91688955 2.36602545
Trong 48 trường hợp, xH > xB . Điều này chứng tỏ là đường GD không cắt cạnh AB và do đó hình vẽ 1 bị sai. Vì hình 2 là hình đúng, 1 góc vuông không thể bằng 1 góc tù.
Cám ơn bạn Công Bình đã đăng lên bài toán này để chúng ta cùng suy nghĩ và nhớ lại thời gian chúng ta còn cắp sách đến trường NLS CT.
Seattle, tháng 8 ngày 30 năm 2010.
) và L= (yD 2 + xD 2) 1/2